三重积分在直角坐标系下的计算

坐标面投影法

先一后二

Tip

在 $f$ 不含 $z$ 的时候最好用

平行与 z 轴的直线和 边界曲面 S 交点不超过两个

把立体投影到 xoy 面上，压成一个薄片，向上做曲顶柱体相切，得到上表面和下表面

下面投影的面向上做直线，交上下表面得到一个线段，用这个细杆的质量表示成投影点的质量

细杆质量是一个一重积分，薄片质量是一个二重积分

$$\underset{V}{\iiint }fdV=\underset{D_{xy}}{\iint }dxdy{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}fdz$$

难度部分，用 xy 表示 z

把二重积分展开就可以了

把积分区域写成

$$D=\{(x,y,z)|z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),y_1(x)\le y\le y_2(x),a\le x\le b\}$$

就可以直接拆成三个定积分了

坐标轴投影法（截面法）

先二后一

同样的，把空间物体压到 z 轴上，算这个细杆的质量就可以了，细杆的线上点的质量就是对应截面的质量

$$\underset{V}{\iiint }fdV={\int }_{c_2}^{c_1}dz\underset{D_z}{\iint }fdxdy$$

Tip

如果被积函数是 z 的一元函数的时候，向 z 轴做投影，会比较简单（但是要保证截面的面积好算，比如说截面是圆的时候）

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总结：在能够分离出来独立的积分的时候，往往会比较简单