拉格朗日乘数法

有条件极值

有几个约束条件，乘上拉格朗日乘数，构造函数，求梯度为 0 的点

几何理解：固定一个约束线，目标函数等高线与之相切的时候，也就是满足法线（梯度）重合的情况，刚好就是极值的情况（严格上是驻点？反正是必要条件）

因为约束线在这里不可能和等高线相交，一定是相切。因为如果是相交的话，一部分高一部分低不满足极值点的定义

固定约束线一个方程，梯度平行两个方程，可以解出切点

把约束方程变成高维空间 n 相对于 n-1 维的柱面，然后由于极值点在约束方程上，切线方向肯定是和 f 轴扩展维垂直（正交）的，因此梯度线性相关（没有理解透这句话）

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可以推广到一般的多元函数

若点 $x_0=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 为函数 $f(x)$ 满足约束条件的条件极值点，则必然存在 $m$ 个常数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ ，使得在 $x_0$ 点处成立

$$\nabla f={\lambda }_1\nabla g_1+{\lambda }_2\nabla g_2+\cdots +{\lambda }_n\nabla g_n$$

至于判断上面所得的点是不是极值点有以下一个充分条件

方阵

$${\left(\frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_k\partial x_l}\right)}_{n\times n}$$

为正定（负定）的时候，为满足约束的极小（大）值点