区间估计

点估计的缺陷：无法断定估计值是否为待估计参数的真实值（即使估计量是无偏有效估计量）；不能把握估计值和参数真实值的偏离程度和有效程度

找到一个区间（两侧都是样本的函数），使得这个区间包含住的概率高（可靠程度高），同时区间长度经可能短（精确度高）

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对于给定 $\alpha$

$$P\{\widehat{{\theta }_1}\le \theta \le \widehat{{\theta }_2}\}=1-\alpha$$

$\widehat{{\theta }_1},\widehat{{\theta }_2}$ 包含 $\theta$ 的概率为 $1-\alpha$

$\alpha$ 称之为 显著性水平，该区间称为 $1-\alpha$ 置信度下的 置信区间

$1-\alpha$ 是 置信水平，反映了区间估计的可靠程度

${\theta }_2-{\theta }_1$ 描述区间估计的精确程度，和可靠程度是矛盾的

我们首先保证可靠程度，追求精确程度

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枢轴变量法

例题：设 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ ,${\sigma }^2={\sigma }_0^2$，求参数 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间

根据 抽样分布定理 构造事件：（第二结论）选取对称区间

$$u_{1-\frac{\alpha }{2}}\le \frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\le u_{\frac{\alpha }{2}}$$

上面事件的概率为 $1-\alpha$

推出：

$$P\left\{\bar{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{u}_{\frac{\alpha }{2}}\le \mu \le \bar{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{u}_{1-\frac{\alpha }{2}}\right\}=1-\alpha$$

用第四结论也能推出一个区间，但是没有利用到方差信息，最后的信息没有这个精确度高

可以用不对称区间吗？钟形概率分布决定了对称取区间的时候精度总是最好的

1. 选取估计量（优良性准则）
2. 建立枢轴变量，确定分布
3. 根据分布，建立概率等式 $P\{{\omega }_{1-\alpha /2}\le W\le {\omega }_{\alpha /2}\}=1-\alpha$ （对于卡方和 F 分布，虽然上面的区间不是最短的，但是为了形式的统一妥协了）
4. 改写不等式

单个正态总体参数的区间估计

1. 求平均值 $\mu$
   1. 已知系统方差 $\sigma$：使用 第二结论 $U=\frac{\bar{X}-\mu }{{\sigma }_0/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
   2. 不知道系统方差，计算样本方差，使用 第四结论：$T=\frac{\bar{X}-\mu }{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
2. 求系统方差 ${\sigma }^2$
   1. 已知 $\mu$：补充结论一 $K={\sum }_{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2(n)$
   2. 未知 $\mu$：第三结论 $K=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

如题目没有说，则需补充假设总体服从正态分布

两个正态总体参数的区间估计

1. 求 ${\mu }_1-{\mu }_2$
   1. 已知两个系统方差：补充结论三
   2. 未知但是相等：第二结论 2
2. 求 ${\sigma }_2^2/{\sigma }_1^2$
   1. 系统均值已知：补充结论二
   2. 系统均值未知：第一结论 2

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单侧置信区间

大样本方法构造置信区间