平面简谐波的动力学方程

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}-u^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=0$$

为什么这个方程为线性的？

因为波满足叠加

介质的几种典型模量

波动方程的建立

轻质、柔弦的微振动方程

任选一个位置，截一段微元，对 y 方向分析，T 为微元两端的拉力

$$T_2\sin {\alpha }_2-T_1\sin {\alpha }_1=\lambda dl\cdot \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}$$

(左右方向上分力始终相等，保持在原地只上下动)

微振动时，做以下近似

$$\cos {\alpha }_1\approx \cos {\alpha }_2\approx 1$$ $$\sin {\alpha }_1=\tan {\alpha }_1=\frac{\partial y}{\partial x}{|}_x$$ $$\sin {\alpha }_2=\frac{\partial y}{\partial x}{|}_{x+dx}$$ $$dl=dx$$

代入原方程得到

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=0$$

波速：

$$a=\sqrt{\frac{T}{\lambda }}$$

如果存在外力，则在方程加上 力密度 一项

$$Fdl$$

得到

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}-\frac{T}{\lambda }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=f(x,t)$$

杆纵波方程

设杆的质量密度为 $\rho$，杨氏模量为 Y，横截面积为 S，t 时刻 dx 微元两端点偏移平衡位置的距离分别为 $u(x,t)$ 和 $u(x+dx,t)$

称微元伸长量与原长之比为 相对伸长量：

$$u(x+dx,t)-u(x,t)=\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}dx\equiv u_x{|}_{x}dx$$ $$u_x{|}_x=\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}$$

动力学方程：左右的拉力作差等于加速度

$$YS\left(\frac{\partial u(x+dx,t)}{\partial x}-\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)=\rho Sdx\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$$

化简得

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0$$

其中 波速

$$a=\sqrt{\frac{Y}{\rho }}=u$$