阻尼振动

物体在阻尼下的振动

阻尼振动周期

不妨假设阻力

$$f=-\gamma v$$

v 比较小

写成动力学方程：

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\beta \frac{dx}{dt}+{\omega }^{2}x=0$$

$\beta$ 是阻尼系数

$$\beta =\frac{\gamma }{2m}$$

讨论特征方程的解，分成三种类型

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小阻尼

$${\omega }_0^2-{\beta }^2>0$$ $$x=A_0{e}^{-\beta t}\cos (\omega t+\varphi )$$

品质因素 quality

$$\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$$

包络线

$$x=A_0{e}^{-\beta t}$$

临界阻尼

$${\omega }_0^2-{\beta }^2=0$$ $$x=e^{-\beta t}(C_1+C_{2}t)$$

过阻尼

$${\omega }_0^2-{\beta }^2<0$$ $$x=A_1{e}^{(-\beta +\sqrt{{\beta }^2+{\omega }^2})t}+A_2{e}^{(-\beta -\sqrt{{\beta }^2+{\omega }^2})t}$$

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例题

已知原周期 $T_0$，放在水里振幅每个周期衰减 0.1，求水中的振动周期

$$T=\frac{2\pi }{\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}}{T}_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$$ $$0.9A_0=A_0{e}^{-\beta T}$$

解得

$$T=\frac{T_0}{2\pi }\sqrt{4{\pi }^2+{\left(\ln 0.9\right)}^2}$$