物体在阻尼下的振动
阻尼振动周期
不妨假设阻力
f=−γv
v 比较小
写成动力学方程:
dt2d2x+2βdtdx+ω2x=0
β 是阻尼系数
β=2mγ
讨论特征方程的解,分成三种类型
小阻尼
ω02−β2>0
x=A0e−βtcos(ωt+ϕ)
品质因素 quality
ω=ω02−β2
包络线
x=A0e−βt
临界阻尼
ω02−β2=0
x=e−βt(C1+C2t)
过阻尼
ω02−β2<0
x=A1e(−β+β2+ω2)t+A2e(−β−β2+ω2)t
例题
已知原周期 T0,放在水里振幅每个周期衰减 0.1,求水中的振动周期
T=ω02−β22πT0=ω02π
0.9A0=A0e−βT
解得
T=2πT04π2+(ln0.9)2