系统循环码

非系统循环码生成的码字 $c(x)=m(x)g(x)$ 中，信息位和校验位是混杂在一起的。系统码则将信息位直接放在码字的前 $k$ 位（或后 $k$ 位），而将校验位放在剩下的 $r=n-k$ 位。

1. 首先将多项式 $m(x)$ 向前移 $r=n-k$ 位，相当于后面补校验位的 0
2. 用移位后的信息多项式除以生成多项式 $g(x)$ 得到余数 $r_d(x)$
3. 最后拼起来 $c(x)=x^r+r_d(x)$

虽然生成方式变了，但是通过加上余数，最后的码字还是到 $g(x)$ 生成出来的理想里来了，拥有了循环码的性质

NOTE

生成矩阵上从左往右，代表的是从低次到高次项系数

检错

$$r(x)=c(x)+e(x)=e(x)(\mathrm{mod}g(x))$$

如果 $e(x)$ 模完不为零则一定出错，纠错还得要查表才行（或者其他比较复杂的代数方法）