系统码

如果生成矩阵 $G$ 具有特定形式 $G=[I_k\mid Q_{k\times (n-k)}]$ 则称该码为系统码

这个的优点是它的码字直接包含了原始信息比特。码字的前 k 位直接就是原始信息 m，后 n-k 位是校验位

对于系统码，其一致校验矩阵 $H_S$ 也有特定的形式

$$H_S=[Q_{(n-k)\times k}^T\mid I_{(n-k)}]$$

这使得关系 $G_S{H}_S^T=[0{]}_{k\times (n-k)}$ 仍然满足

分块矩阵

$$G_S{H}_S^T=I_{k}Q+Q{I}_{(n-k)}=Q+Q=[0]$$

G 和 H 的角色可以互换，也就是说 H 作为生成矩阵，它会生成另一个码，称为 c 的对偶码

将普通生成矩阵转化为系统生成矩阵，需要做初等行变换

接收向量：r

差错图案：e：是我们希望检测出来纠正的“错误”

伴随式：s

$$s=r{H}^T$$

由于 $r=c\oplus e$ 所以 $s=c{H}^T\oplus e{H}^T$

在译码前，我们需要提前计算好所有的可能差错团 e 所对于的伴随式 s，然后再根据计算出的 s，在预先构造好的伴随式 - 差错图案表中查找，找到该 s 对应的最可能的差错图案 e

为什么是重量最小的 e？因为在通信中，发生比特翻转的概率通常是独立的且很小，所以发生一个比特错误比发生两个比特错误的可能性大得多，两个比特错误又比三个的可能性大得多，以此类推。因此，我们总是假设接收到的错误是数量最少的（即汉明重量最小的）。