二重积分在极坐标系中的计算

现在用一组同心圆和从极点出发的一族射线来分割

$$\Delta {\sigma }_i=r_i\Delta r_i\Delta {\theta }_i+\frac{1}{2}\Delta r_i^2\Delta {\theta }_i$$

所以直角坐标系转换成极坐标系：

$$d\sigma =rdrd\theta$$

这里的多出来的 r 是转换让计算变简单的关键操作

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=rsin\theta \end{array}$$

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二重积分转换成二次积分的操作和直角坐标系相同，都是一个固定区间，另一个取作函数

天然的 r 是大于 0 的，一般是先对 r 积分

Tips

因为 $r$ 本来就是大于 0 的，所以看象限这个位置有没有这个区域就可以确认 $\theta$ 的范围

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二重积分转化为二次积分

极点在积分区域 D 的外部：作两个切线，转化为 $\theta$ 区域

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r(\theta )}^{r(\theta )}f(r,\theta )dr$$

极点在积分区域的内部的时候，$\theta$ 取 $[0,2\pi ]$，r 下限是 0

极点在积分区域的边界的时候，取切线，和上面差不多

相当于向极点作投影，方程对 $\theta$ 没有限制的时候，相当于取原始最大值

例：

$${\int }_0^{+\infty }dx{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

化成二重积分正方形面积开平方，用夹逼定理用两个圆夹住

Tip

启发：对于极坐标系下的圆环积分，可以表示成两个独立的定积分形式

例：

维维安尼体积分：

转换成第一卦限的四倍

$$D=\left\{(r,\theta )|0\le r\le R\cos \theta ,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\right\}$$ $$V=4{\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{R\cos \theta }\sqrt{R^2-r^2}\cdot rdr$$

用 wallis公式 可以得到结果

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