二重积分的几何意义

面密度函数已知的平面薄片质量

二重积分 在几何上如何解释？

$$z=f(x,y)$$

在 ${\mathbb{R}}^3$ 上代表了一个曲面

所以以 xoy 上的闭区域为底面，以 D 的边界曲线为准线，母线平行与 z 轴的 曲顶柱体 的体积

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例题：

$$求柱面x^2+y^2=R^2和x^2+z^2=R^2围成的立体体积$$

把第一卦限的体积求出来就行了，转化成了曲顶柱体

$$z=\sqrt{R^2-x^2}$$

底是圆面的 $\frac{1}{4}$

$$\begin{array}{rl}V& =8\underset{D}{\iint }\sqrt{R^2-x^2}d\sigma \\ & =8{\int }_0^{R}dx{\int }_0^{\sqrt{R^2-x^2}}\sqrt{R^2-x^2}dy\\ & =\frac{16}{3}{R}^3\end{array}$$

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在含有绝对值的时候哦根据绝对值里面的正负再分区域

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要考虑对称区域对奇函数积分结果等于 0 的情况

区域关于 x 对称，函数是 y 的奇函数，结果是 0；区域关于 x 对称，函数是 y 的偶函数，结果是两倍

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二重积分的本质是和式的极限，和分割和点的取法没有关系，所以可以考虑不同分割，结果仍然相同

考虑 二重积分在极坐标系中的计算