Abel 定理

一个点处的收敛性能够推出它影响的区域的收敛性

如果 幂级数 在 $x_0$ 处收敛

那么能够推出

$$\forall x\in \{x||x|<|x_0|\}\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

绝对收敛

如果 幂级数 在 $x_0$ 处发散

那么能够推出

$$\forall x\in \{x||x|>|x_0|\}\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

发散

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通过反证利用这个结论证明发散的结论

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推论

如果幂数级数在 $x_0$ 收敛，$x_1$ 发散

那么 $|x_0|<|x_1|$

一定存在某一个临界点 R 使得在 R 内收敛，在 R 外发散，在该点不确定

可以把整个数轴除了 R 上的点都讲清楚了

把 R 称为 收敛半径，$(-R,R)$ 是 收敛区间，考虑加入端点的情况后加入可以确定 收敛域

极端情况是仅在 $x=0$ 这一点收敛，或在整个数轴上都收敛