分布函数

设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，称函数

$$F(x)=P\{X\le x\}=P\{\omega :X(\omega )\le x\}$$

为随机变量 X 的分布函数

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性质

两个极限一定能够确定

$$\begin{gathered} F(-\infty )=0 \\ ,F(+\infty )=1 \end{gathered}$$

是右连续函数

单调不降

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对于 多维随机变量 来说，拓展定义：

$$F_X(x)=P\{X\le x\}$$

称为 边缘分布函数

$$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$$

称为 联合分布函数

故有：

$$F_X(x)=\underset{y\to \infty }{\lim }F(x,y)$$

反过来如果知道两个边缘分布函数，是不能知道联合分布函数的信息的，因为丢失了两个参数之间的影响

在几何意义上，表示坐标图上落下点的左下方的概率大小

$$P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\in [0,1]$$

分布函数需要在整个平面上写完整才行

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可以通过构造得到新的随机变量来验证新的随机变量的对应的分布函数为分布函数

如 $X\sim F_1(x),Y\sim F_2(y)⟹max\{x,y\}\sim F_1(x)F_2(y)$，所以 $F_1{F}_2$ 为分布函数