S={S1,S2,…} 满足 每个元素都是 A 的子集,且非空 任意两个元素不重合 所有元素的并是 A 则称 S 是 A 集合的划分,每个元素称为 类 或 划分块 例子 自然数子集可以用同余关系作任意划分 划分出来的类可以取出一个 代表元,和它有关系的元素可以用这个表示 [1]R={1,5,9} 设 R 是 A 上的等价关系,A/R 是由 R 导出的等价划分 等价关系的划分构造定理 划分 S={A1,A2,…} 确定的等价关系 R=(A1×A1)∪(A2×A2)∪… 是 A 上的 等价关系,称为由划分 S 导出的等价关系 可以看出等价关系和集合的划分有一一对应的联系 证明 自反性 笛卡尔积内部一定有 恒等关系 对称性 如果两个元素有关系,那么肯定在同一个 划分块 内,所以逆关系也在 划分块 里 传递性 三个都属于同一个 划分块 指向原始笔记的链接 例题 求集合上所有的等价关系 按划分块的个数构造等价关系