等价关系的划分构造

定理 划分 $S=\{A_1,A_2,\dots \}$ 确定的等价关系 $R=(A_1\times A_1)\cup (A_2\times A_2)\cup \dots$ 是 A 上的 等价关系，称为由划分 S 导出的等价关系

可以看出等价关系和集合的划分有一一对应的联系

证明

1. 自反性 笛卡尔积内部一定有 恒等关系
2. 对称性 如果两个元素有关系，那么肯定在同一个 划分块 内，所以逆关系也在 划分块 里
3. 传递性 三个都属于同一个 划分块