勒让德符号

由 欧拉判别法 可以知道有

$$\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{(p-1)/2}(modp)$$ $$\left(\frac{1}{p}\right)=1$$ $$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{(p-1)/2}$$

如果 $a\equiv b(modp)$，则有

$$\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)$$ $$\left(\frac{a+p}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)$$

如果 $(a,p)=1$

$$\left(\frac{a^2}{p}\right)=1$$ $$\left(\frac{a_1{a}_2\dots a_n}{p}\right)=\left(\frac{a_1}{p}\right)\left(\frac{a_2}{p}\right)\dots \left(\frac{a_n}{p}\right)$$

$$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{(p^2-1)/8}=\{\begin{array}{ll}1& p\equiv \pm 1(mod8)\\ -1& p\equiv \pm 3(mod8)\end{array}$$

二次互反律

如果 p，q 都是奇素数，$(p,q)=1$

$$\left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{(p-1)(q-1)/4}\left(\frac{p}{q}\right)$$