指数的性质

如果 $a \equiv b (m o d m)$

or d_{m} (a) = or d_{m} (b)

$a^{d} \equiv 1 (m o d m)$ 的充要条件是

or d_{m} (a) ∣ d

or d_{m} (a) ∣ φ (m)

or d_{m} (a^{- 1}) = or d_{m} (a)

即元素的阶等于它逆元的阶

证明用阶的定义和互相整除得到

a^{0}, a^{1}, \dots, a^{or d_{m} (a) - 1}

两两不同余，特别的当 a 为原根，这 $φ (m)$ 个数构成模 m 简化剩余系

a^{d} \equiv a^{k} (m o d m) ⟹ d \equiv k (m o d or d_{m} (a))

证明：

a^{d - k} \equiv 1 (m o d m) ⟹ or d_{m} (m) ∣ d - k

设 k 为非负整数

or d_{m} (a^{k}) = \frac{or d _{m} ( a )}{( or d _{m} ( a ) , k )}

而且在模 m 的简化剩余系中，至少有 $φ (or d_{m} (a))$ 个数对模 m 的指数等于 $or d_{m} (a)$

这里的至少只计算了由 a 生成的小循环群中和 a 相同阶的情况，没有计算其他循环群的情况

如果 a 是原根，则 $a^{k}$ 是原根的充分必要条件是

(φ (m), k) = 1

如果模 m 存在一个原根，则模 m 有 $φ (φ (m))$ 个不同的原根

or d_{m} (ab) = or d_{m} (a) or d_{m} (b) ⟺ (or d_{m} (a), or d_{m} (b)) = 1

用阶的“最小性”定义来说明

a^{d} \equiv 1 (m o d m_{1} m_{2})

若总有 $a^{i} \equiv 1 (m o d m_{1} m_{2})$ 则如果能证明 $d ∣ i$ 总成立，那么说明 d 就是 a 的阶

n ∣ m ⟹ or d_{n (a)} ∣ or d_{m} (a)

(n, m) = 1 ⟹ or d_{nm} (a) = [or d_{n} (a), or d_{m} (a)]

🪴 Cyril