群的性质

• 左逆元同时也是右逆元，即对于 $a,b\in G$ ，如果 $ba=e$，则 $ab=e$
  • 设 $b^{\prime }$ 是 $b$ 的左逆元
  • $ab=eab=(b^{\prime }b)(ab)=b^{\prime }(ba)b=b^{\prime }b=e$
• 左单位元同时也是右单位元
  • $ae=a(ba)=(ab)a=ea=a$
• 单位元是唯一的
  • $e=e{e}^{\prime }=e^{\prime }$
• 逆元是唯一的
  • $b=be=b(ac)=(ba)c=c$

群的乘法满足消去律（左右都可以）

等价性质：如果 G 是一个群，$\forall a,b\in G$，方程

$$ax=b,ya=b$$

有解。反之，如果上面方程在非空集合 G 中有解，且运算满足封闭性结合律，则 G 关于该运算就是一个群

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如果一个非空有限集合 G 中运算满足结合律和封闭性，则它是一个群的充分必要条件是满足消去律

对于所有 G 中的元素都左乘一个 a，那么得到的新的 G 和原来是一个集合（阶相等，元素互不相同的有限论证），所以能够得到 $ax=b$ 在 G 中有解，再根据上面的等价描述得到 G 是一个群

有限集合才行，无限集合如乘法在非零整数上不是一个群