二重积分在直角坐标系中的计算

参考 二重积分的几何意义 可以得到计算方法

讨论 积分区域 D 的表示

如果满足

$$D=\{(x,y)|y_1(x)\le y\le y_2(x),a\le x\le b\}$$

即左右直线（也可以一个点），上下曲线的区域

称为 x 型区域

同理 y 型区域 上下直线，左右曲线

1. 画图，如果能直接解决就直接写出来区域 D
2. 联立，消去无关变量（投影），得到一个范围
3. 方程统一自变量
4. 代入范围边界，得到规范的 xy 型区域（写清楚上面 D 的表达式，拿分）

把二重积分转换成二次积分

假定函数值大于 0，积分区域是 x 型区域。过 $x_0$ 做一个与 x 轴垂直的平面，截得曲面梯形的面积可以通过一重积分得到，通过再一次积分可以得到曲顶柱体的体积

$$S(x)={\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$$ $$V={\int }_a^{b}S(x)dx={\int }_a^b({\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy)dx$$

即

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$$

上式称为先对 y 后对 x 的二次积分，轮换同理

Tip

积分的上下限 xy 都遵循变量沿增大方向积分的原则

里面积分的无关变量可以拿到外面去简化计算

当积分区域又是 x 型，又是 y 型，两个方法都可以

当积分区域两种都不是的时候，根据 区间可加性，把区域分割成几部分，使得每个部分都是 x 型或者 y 型

遇到 无法写出解析表达式的积分 的时候，可以 改变积分次序，把 x 型转化成 y 型或者反过来，变成好求的积分

或者 分部积分 一样可以得到同样的结果

$$\begin{array}{rl}\iint f(x,y)dxdy& =\int dx\int f(x,y)dy\\ & =\int F(x)dx\\ & =xF(x){|}_b^a-\int xf(x,y)dx\\ & =x\int f(x,y)dy{|}_b^a-\int xf(x,y)dx\end{array}$$

其中我们期望 $x\int f(x,y)dy{|}_b^a=0$ 可以简化运算