含参变量的积分求导

称积分

$$\phi (x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy$$

为含参变量 $x$ 的积分

如果积分上下限为常数，则称为 固定限参变量积分，否则称 可变限参变量积分

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如果函数在矩形区域内连续，则积分出来的函数值在自由变量那里连续

反映了二元函数的连续性和含参积分的连续性的联系

可以引申出方法：当被积的二元函数连续的时候，极限符号可以和积分符号交换顺序

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定理 和 f 的 x 偏导数都连续，那么含 x 参数的积分是可导的，并且积分的导数等于先求偏导再积分 →含参积分求导

给出了变上限求导之外的对积分函数求导的方法

证明：设积分函数增量，转换成函数作差，用一次拉格朗日中值定理，把增量除过去式子两边取极限

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定理 在矩形区域内 xy 积分顺序交换结果是一样的

证明：导函数作差等于 0，说明原函数相差一个常数，再证明常数等于 0，说明两个函数相等。其中求导用到 含参积分求导，函数一样留到最后

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定理 函数和 x 偏导在矩形区域上连续，有两个函数在 x 范围内不走出 y 的范围，则有：

$$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dx}{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy\\ =& {\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}{f}_x(x,y)dy+f(x,\beta (x)){\beta }^{\prime }(x)-f(x,\alpha (x)){\alpha }^{\prime }(x)\end{array}$$

用 多元复合函数求导的链式法则 得到