多元复合函数求导的链式法则

外函数 要求可微，内函数 偏导要求存在

我们将一元复合函数求导法则推广到多元复合函数的情况. 设二元函数 $z=f(u,v)$ 定义在 ${\mathbf{R}}^2$ 内的某个开集 $D$ 内, 又设 $u=u(x,y),v=v(x,y)$ 定义在 ${\mathbf{R}}^2$ 内的某个开集 $E$ 内, 即

$$\{(u,v)\mid u=u(x,y),v=v(x,y),(x,y)\in E\}\subset D.$$

于是由 $f$ 以及 $u,v$ 可构成一个复合函数

$$z=f[u(x,y),v(x,y)],(x,y)\in E.$$

定理 设 $u=u(x,y),v=v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数均存在, 函数 $z=f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 处可微, 则复合函数 $z=f[u(x,y),v(x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$ 均存在, 且有链式法则:

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$

可以写作 矩阵的乘法 形式

证 考虑如下极限:

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta x}\{f[u(x+\Delta x,y),v(x+\Delta x,y)]-f[u(x,y),v(x,y)]\},$$

若上式极限存在, 则该极限值就是 $z$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$. 因 $z=f(u,v)$ 在点 $(u,v)$ 处可微, 则

$$f(u+\Delta u,v+\Delta v)-f(u,v)=\frac{\partial f}{\partial u}\Delta u+\frac{\partial f}{\partial v}\Delta v+o(\rho ),$$

其中 $\rho =\sqrt{(\Delta u{)}^2+(\Delta v{)}^2}$, 又

$$\Delta u=u(x+\Delta x,y)-u(x,y),\Delta v=v(x+\Delta x,y)-v(x,y),$$

所以

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{\Delta x}\{f[u(x+\Delta x,y),v(x+\Delta x,y)]-f[u(x,y),v(x,y)]\}\\ =& \frac{\partial f}{\partial u}\frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{v(x+\Delta x,y)-v(x,y)}{\Delta x}+\frac{o(\rho )}{\Delta x}.\end{array}$$

由于 $u,v$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数存在, 令 $\Delta x\to 0$, 并注意到

$$\begin{array}{rl}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left|\frac{o(\rho )}{\Delta x}\right|& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{|o(\rho )|}{\rho }\frac{\rho }{|\Delta x|}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\left|o\left(\sqrt{(\Delta u{)}^2+(\Delta v{)}^2}\right)\right|}{\sqrt{(\Delta u{)}^2+(\Delta v{)}^2}}\sqrt{{\left(\frac{\Delta u}{\Delta x}\right)}^2+{\left(\frac{\Delta v}{\Delta x}\right)}^2}=0.\end{array}$$

故有

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$

相当于每一条到终点的路径都要链式求导一次，若该路径只有一条，则对改变量求 导数

NOTE

中间变量复用的情况，t 是 t 的函数，s 和 t 独立，可以相互看成彼此的常值函数，在偏导数里不贡献。在这里复合之后的函数 z 和没有复合之前的对应关系 f 容易混淆，应当做不同符号区别开