周期一般化的傅立叶级数展开

设函数 $f(x)$ 是以 $2l$ 为周期，在 $[-l,l]$ 上定义的函数

展开式为

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$$

其中

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx$$ $$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$$

做变量代换 $z=\frac{\pi }{l}x$ 即可，则有 $F(z)=f(x)=f\left(\frac{l}{\pi }z\right)=f\left(\frac{l}{\pi }(z+2\pi )\right)=f(x+2l)=F(z+2\pi )$，套用前面的结论做变量代换即得出结论

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例题 把 $f(x)=10-x$ $(5<x<15)$ 展开成傅立叶级数

令 $x_0=\frac{15-5}{2}=5$

$$t=x-x_0⟹\{\begin{array}{l}z\in [-5,5]\\ f(x)=f(z+10)=-z=F(z)\end{array}$$

把 $F(z)$ 做周期延拓，然后展开为正弦级数

$$\{\begin{array}{l}{a}_n=0\\ b_n=\frac{2}{5}{\int }_0^5-z\sin \frac{n\pi z}{5}dz=(-1{)}^n\frac{10}{n\pi }\end{array}$$ $$10-x=F(z)=\frac{10}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}\sin \frac{n\pi z}{5}$$

换回来就是了

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P级数 P 取 2 的时候和函数的构造方法是绝对值函数傅里叶展开

偶数项的和等于 $\frac{1}{4}$ 的所有项，用方程可以得出