傅立叶级数

• 空间是 基向量 的 生成子空间，空间内的任意向量都可以被基向量作线性表出
• 设 $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$

则把后面 $(x-x_0{)}^n$ 看成基向量（线性无关），前面 $f^{(n)}(x_0)$ 看做表出系数，那么如果函数能够泰勒展开，那么就能在这个无穷维空间中找到一个位置表示这个函数，它的 分析运算 都可以转化为幂函数的分析运算

如果把基向量用三角函数来表示，那么它的分析运算也同样容易

所以尝试：

$$\begin{array}{rl}f(t)& =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }\sin (n\omega t+{\phi }_n)\\ & =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\end{array}$$ $$\omega t=x$$

把 1，$\sin nx$，$\cos nx$ 等 三角函数系 看成函数空间的 基，不但是线性无关的，居然还是 正交 的！

任意的两个不同函数的乘积在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的积分等于 0

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nxdx=0$$ $${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nxdx=0$$

同名不同角的是正交的

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cdot \cos mxdx=0(m\ne n)$$ $${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\cdot \sin mxdx=0(m\ne n)$$

不同名的是正交的

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\cdot \cos mxdx=0$$

积化和差 可以证明上面两个

注意到自身内积都是非零的

$$\{\begin{array}{l}{\int }_{-\pi }^{\pi }1dx=2\pi \\ {\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}nxdx=\pi \\ {\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}nxdx=\pi \end{array}$$

说明在函数的 内积 意义下： 1，$\sin nx$，$\cos nx$ 是一组 正交向量组，也是一组 正交基

---

1. 通过函数能否写出傅里叶级数？ → 欧拉-傅立叶系数公式
2. 傅里叶级数收敛的函数是否和原函数相等 → 傅立叶级数收敛定理

函数展开成正弦级数或余弦级数

---

周期一般化的傅立叶级数展开