多元函数的第一类换元法

$$\underset{D_{xy}}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{D_{uv}}{\iint }f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$$

这个 $|J|$ 是绝对值，不为 0

$$J=\left|\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right|=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\frac{1}{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}$$

雅可比行列式 作为 xy 面和 uv 面的面积元素的伸缩系数，如果不为 0，就把 uv 上的点集对应到 xy 面上的点集

目标是让函数变更加简单，同时让积分区域变更加规则

对于三元函数也有同样的定义

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$u=\frac{y^2}{x}$ $v=xy$

求两个抛物面（有相共轭 z 轴）围起来的体积：

1. 求投影区域的边界
2. 确定上下，分成两个曲顶柱体体积，因为积分区域一样，直接写成两个函数的差
3. 此时边界是椭圆方程，被积函数也是椭圆方程。做三角代换 $x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta$（广义极坐标），把椭圆变成了圆 $r=1$
   1. 把被积函数代入新的自变量
   2. 确定面积元素的伸缩倍数，即求 雅可比行列式（椭圆的伸缩系数和半径正比 $abr$）
4. 计算二重积分可得