随机变量的函数及其分布

离散型随机变量 X 有分布律，$Y=g(X)$

跑遍所有 X，同时合并相等的 $g(X)$ 对于的概率

多维离散变量也同理

$$P\{Z=z\}=\sum _{g(x_i,y_i)=z}{p}_{ij}$$

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假设 XY 相互独立，为离散随机变量，其分布律为

$$P\{X=k\}=p(k)$$ $$P\{Y=r\}=q(r)$$

$Z=X+Y$ 的分布律为

$$P\{Z=m\}=\sum _{k=0}^{m}p(k)q(m-k)$$

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满足可加性的分布

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设 X 是连续型变量，$g(X)$ 可能不是连续型随机变量，甚至不是随机变量。通常意义下（g 本身是一个连续函数）产生的是连续型随机变量

假设 Y 为连续型随机变量

$$Y=g(X)$$

已知 $f_X(x)$ 求分布函数 $f_Y(y)$：

一般的做法是：

1. 求出 $F_X(x)$
2. 根据上面，求出在 $P\{Y<y\}$ 对应事件下的 $F_Y(y)$
3. 对 $F_Y(y)$ 求微分

$$Y=g(X)\le y⟹X\le h(y)$$ $$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{f}_X(h(y))|h^{\prime }(y)|& y\in [min(g),max(g)]\\ 0& other\end{array}$$

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$$Z=max(X,Y)$$ $$F_{Max}(z)=F(z,z)$$ $$Z=min(X,Y)$$ $$F_{Min}(z)=F_X(z)+F_Y(z)-F(z,z)$$ $$Z=X+Y$$ $$F_Z(z)={\iint }_{x+y\le z}f(x,y)dxdy={\int }_{-\infty }^{z-y}dx{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$$ $$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx$$

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$$Z=\frac{X}{Y}$$ $$F_Z(z)=P\left\{\frac{X}{Y}\le z\right\}={\iint }_{\{x/y\le z\}}f(x,y)dxdy$$

有两个积分区域

多元函数的第一类换元法

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}=u\\ y=v\end{array}$$ $$F_Z(z)={\iint }_{\{u\le z\}}f(uv,v)|v|dudv$$ $$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(zy,y)|y|dy$$

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用01区间内的均匀分布产生任意分布

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同分布的证明