第一类曲线积分

对 弧长微元 做积分即可得到弧长长度

s=\int _{a}^{b} \, ds=\int_{a}^{b} \sqrt{ 1+y' ^{2}}dx

空间曲线也是一样的

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在极坐标下

设：

$$r=r(\theta )$$

则有

$$p=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }(\theta )\\ y^{\prime }(\theta )\end{array}\right)=\underset{正交矩阵}{\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)}\left(\begin{array}{c}{r}^{\prime }(\theta )\\ r(\theta )\end{array}\right)$$ $$\{\begin{array}{l}x=r(\theta )\cos \theta \\ y=r(\theta )\sin \theta \end{array}$$ $$\begin{array}{rl}ds& =\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}d\theta \\ & \\ & =|p|d\theta \\ & =\sqrt{r^{\prime 2}+r^2}d\theta \end{array}$$

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定理 函数在曲线上连续，同时知道参数方程且具有一阶导数，则积分可以表示成：

$${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t))\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt,(\alpha <\beta )$$

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技巧：积分区域的轮换可以帮助计算

部分的奇函数可以拿掉