多元数量值函数积分概念

设有界闭区域的 几何形体，并且 可以度量

设在几何形体上有一个有界函数 f

1. 将几何形体任意分隔成 n 个小块，$\Delta {\Omega }_i$ （代表每一块也代表 度量）
2. 任取一点，相乘
3. 作和式 $\sum f(M_i)\cdot \Delta {\Omega }_i$
4. 若最大直径趋于 0 的时候，上面的极限存在，称为 f 在几何形体上可积，记为

$${\int }_{\Omega }f(M)d\Omega$$

• $\Omega$ 称为 积分区域
• $f(M_i)\cdot \Delta {\Omega }_i$ 称为 被积表达式 或 积分微元

1. 当 f 是密度的时候，结果就是质量
2. f 是 1 的时候，结果就是几何形体的度量
3. 当 f 在几何形体上连续的时候，函数必然可积

当几何形体是一个平面区域的时候，称为 二重积分，记为

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$$

在直角坐标系下用平行于坐标轴的线来划分区域 D，面积元素 为

$$d\sigma =dxdy$$

当几何体是空间区域 V，称为 三重积分，记为

$${\iiint }_{V}f(x,y,z)dV$$

在直角坐标系下用平行于坐标面的平面来划分，则 体积元素 为

$$dV=dxdydz$$

当几何体是一条平面或空间曲线 L，称为 第一类曲线积分 或对 弧长的曲线积分

$${\int }_{L}f(x,y)ds$$ $${\int }_{L}f(x,y,z)ds$$

如果 L 是闭曲线，常记为：

$${\oint }_{L}f(x,y)ds$$ $${\oint }_{L}f(x,y,z)ds$$

当几何形体是一个曲面，称为 第一类曲面积分 或对 面积的曲面积分

记为

$$\underset{s}{\iint }f(x,y,z)dS$$

如果 L 是闭曲面，常记为：

$$\underset{s}{\oint }f(x,y,z)dS$$