中心极限定理

研究随机变量求和的分布

定义 依分布收敛

设随机变量相互独立，若 标准化 的随机变量序列 依分布收敛 于 X ，则称随机变量序列服从中心极限定理

$$P\{X^{\ast }\le x\}\to \Phi (x)$$

随机变量如果受到大量微小因素的独立影响，则最后的分布为正态分布

解释了哪些随机变量可以看作正态分布，给出了概率的近似计算公式

---

独立同分布中心极限定理

X 是一个相互独立，同分布的随机序列，已知期望和方差，则满足中心极限定理

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{\sum X_k-E\left(\sum X_k\right)}{\sqrt{D\left(\sum X_k\right)}}\le x\right\}=\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{\sum X_k-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\le x\right\}=\Phi (x)$$

用中心极限定理要比大数定律要准确，因为大数定律只说明了随机变量和期望之间的关系，而中心极限定理还有对分布的说明

棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理

$Y_n\sim B(n,p)$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le x\right\}=\Phi (x)$$

和近似泊松的条件不一样，这里不要求 p 很小（很小的时候其实差不多）