二维连续型随机变量

求分布函数

根据二维情况分成不同的区域来讨论，对概率密度函数进行二重积分得到

求边缘概率密度函数

分区域对概率密度函数做含参变量积分

如

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2x^{2}y}& 1\le x,1/x\le y\le x\\ 0& other\end{array}$$

对自变量进行讨论

$$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx=\{\begin{array}{ll}0& y<0\\ {\int }_{1/y}^{\infty }1/(2x^{2}y)dx& 0\le y<1\\ {\int }_y^{\infty }1/(2x^{2}y)dx& y\ge 1\end{array}=\{\begin{array}{ll}0& y<0\\ \frac{1}{2}& 0\le y<1\\ \frac{1}{2y^2}& y>1\end{array}$$ $$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy=\{\begin{array}{ll}0& x<1\\ {\int }_{1/x}^{x}f(x,y)dy& x\ge 1\end{array}$$