估计量的优良标准

如果 $θ$ 估计值的期望等于真实值，则称为无偏估计

解释了样本方差为什么用 $n - 1$

E s^{2} = σ^{2}

E ((n - 1) s^{2}) = \sum E X_{i}^{2} - n E \overset{ˉ}{X}^{2} = n (D (X) + E^{2} (X)) - n (D (\overset{ˉ}{X}) + E^{2} (\overset{ˉ}{X}))

= n (σ^{2} + μ^{2}) - n (\frac{σ ^{2}}{n} + μ^{2}) = (n - 1) σ^{2}

由此可得，样本二阶中心矩是渐进无偏估计，样本方差才是无偏估计

E (M_{2}) = \frac{n - 1}{n} σ^{2} \to σ^{2}

无偏估计是否是唯一的？

并非唯一，如：

E (\frac{1}{n} \sum (X_{i} - μ)^{2}) = σ^{2}

同样为 $σ$ 的无偏估计（方差的定义）

样本的 k 阶原点矩是 k 阶总体矩的无偏估计
$E (A_{k}) = μ_{k}$ 指向原始笔记的链接

中心矩则不成立

对所有 $θ$ 中无偏估计，有一个的方差是其中最小的，那么称为这个为最小方差无偏估计量

如果整体是正态分布， $\overset{ˉ}{X}$ 和 $s^{2}$ 是 $μ$ 和 $σ^{2}$ 的最小无偏估计

估计量 $θ$ 可以是无偏可以是有偏，如果随着 n 的增大，估计量和未知参数的差概率上趋近于 0，则称该估计量为参数的相合估计量

n \to \infty lim P {∣ \hat{θ}_{n} - θ ∣ < ϵ} = 1

样本均值、样本方差，二阶中心矩都是相合估计量

第一大抽样分布定理利用卡方可以计算 $D (s^{2})$ $D (M_{2})$

🪴 Cyril