马尔科夫不等式

设随机变量 Y 的 k 阶绝对原点矩 $E(|Y{|}^k)<+\infty$

则对于任意的 $ϵ>0$

$$P\{|Y|>ϵ\}\le \frac{E\{|Y{|}^k\}}{{ϵ}^k}$$

证明如下：

设随机变量 Y 的概率密度为 $f_Y(y)$，于是有

$$P\{|Y|>ϵ\}={\int }_{|y|>ϵ}{f}_Y(y)dy\le {\int }_{|y|>ϵ}\frac{|y{|}^k}{{ϵ}^k}{f}_Y(y)dy\le {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{|y{|}^k}{{ϵ}^k}{f}_Y(y)dy=L.H.S$$

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通常取下面特殊形式：

$$P\{|X-a|>ϵ\}\le \frac{E(X-a{)}^2}{{ϵ}^2}$$

推出 切比雪夫不等式