分布函数

设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，称函数

$$F(x)=P\{X\le x\}=P\{\omega :X(\omega )\le x\}$$

为随机变量 X 的分布函数

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性质

两个极限一定能够确定

$$\begin{gathered} F(-\infty )=0 \\ ,F(+\infty )=1 \end{gathered}$$

是右连续函数

单调不降

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对于 多维随机变量 来说，拓展定义：

$$F_X(x)=P\{X\le x\}$$

称为 边缘分布函数

$$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$$

称为 联合分布函数

故有：

$$F_X(x)=\underset{y\to \infty }{\lim }F(x,y)$$

反过来如果知道两个边缘分布函数，是不能知道联合分布函数的信息的，因为丢失了两个参数之间的影响

在几何意义上，表示坐标图上落下点的左下方的概率大小

$$P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\in [0,1]$$

分布函数需要在整个平面上写完整才行