若
∑pi∣xi∣<+∞
则称
E(X)=∑pixi
为离散型随机变量的数学期望
同理,当
∫∣x∣f(x)dx<+∞
则
E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx
为连续型随机变量的数学期望
绝对收敛 保证数学期望的唯一性,并不是所有的随机变量的期望都是存在的。如 柯西分布 期望不存在(考试就不用区分了,只需要记住这个特殊的分布就行)
常见分布的数学期望
核心定理:
有 Y=g(X),X 的概率密度为 f(x)
E(Y)=∑g(xi)pi
E(Y)=∫−∞∞g(x)f(x)dx
二维随机变量期望
Z=G(X,Y)
E(Z)=∑∑G(xi,yi)pij
E(Z)=∫−∞∞∫−∞∞G(x,y)f(x,y)dxdy
若只在区域 Z 上有效,则写成
E(Z)=∬ZG(x,y)f(x,y)dxdy
特别的,有:
XY 独立
E(XY)=∑∑xiyjpij=∑∑xiyjpipj=E(X)E(Y)
只关心一个
EX=∬Gxf(x,y)dxdy
期望的性质