数学期望

若

$$\sum p_i|x_i|<+\infty$$

则称

$$E(X)=\sum p_i{x}_i$$

为离散型随机变量的数学期望

同理，当

$$\int |x|f(x)dx<+\infty$$

则

$$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$$

为连续型随机变量的数学期望

绝对收敛 保证数学期望的唯一性，并不是所有的随机变量的期望都是存在的。如 柯西分布 期望不存在（考试就不用区分了，只需要记住这个特殊的分布就行）

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常见分布的数学期望

核心定理：

有 $Y=g(X)$，X 的概率密度为 $f(x)$

$$E(Y)=\sum g(x_i)p_i$$ $$E(Y)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)dx$$

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二维随机变量期望

$$Z=G(X,Y)$$ $$E(Z)=\sum \sum G(x_i,y_i)p_{ij}$$ $$E(Z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }G(x,y)f(x,y)dxdy$$

若只在区域 Z 上有效，则写成

$$E(Z)={\iint }_{Z}G(x,y)f(x,y)dxdy$$

特别的，有：

XY 独立

$$E(XY)=\sum \sum x_i{y}_j{p}_{ij}=\sum \sum x_i{y}_j{p}_i{p}_j=E(X)E(Y)$$

只关心一个

$$EX={\iint }_{G}xf(x,y)dxdy$$

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期望的性质