集合的划分

$S=\{S_1,S_2,\dots \}$ 满足

1. 每个元素都是 A 的子集，且非空
2. 任意两个元素不重合
3. 所有元素的并是 A

则称 S 是 A 集合的划分，每个元素称为 类 或 划分块

例子 自然数子集可以用同余关系作任意划分

划分出来的类可以取出一个 代表元，和它有关系的元素可以用这个表示

$$[1{]}_R=\{1,5,9\}$$

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设 R 是 A 上的等价关系，$A/R$ 是由 R 导出的等价划分

等价关系的划分构造

定理 划分 $S=\{A_1,A_2,\dots \}$ 确定的等价关系 $R=(A_1\times A_1)\cup (A_2\times A_2)\cup \dots$ 是 A 上的 等价关系，称为由划分 S 导出的等价关系

可以看出等价关系和集合的划分有一一对应的联系

证明

1. 自反性 笛卡尔积内部一定有 恒等关系
2. 对称性 如果两个元素有关系，那么肯定在同一个 划分块 内，所以逆关系也在 划分块 里
3. 传递性 三个都属于同一个 划分块

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例题

求集合上所有的等价关系

按划分块的个数构造等价关系