机械波的能量

$$\overline{ϵ}=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2$$

把动态的问题转化为静态的体积的计算，精细化计算

例如 电流强度 精确化为 电流密度

机械波的动能

设简谐波

$$u(x,t)=A\cos \left(\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right)$$

微元动能

$$\Delta E_k=\frac{1}{2}\Delta m{v}^2=\frac{1}{2}\rho \Delta V{\omega }^2{A}^2{\sin }^2\left(\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right)$$

机械波的势能

杨氏模量 Y

取一段微元，类比弹簧

$$F=YS\frac{\Delta u}{\Delta x}$$

得到在这个微元内的势能

$$\Delta E_p=\frac{1}{2}\left(\frac{YS}{\Delta x}\right)(\Delta u{)}^2=\frac{Y\Delta V}{2}{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2$$

进而求得势能的微元 (代入二阶偏导) 杆纵波方程 消去 Y

$$\Delta E_p=\frac{1}{2}\rho \Delta V{\omega }^2{A}^2{\sin }^2\left(\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right)$$

发现和动能是同步等大的

机械波的能量

$$\Delta E=\Delta E_k+\Delta E_p=\rho \Delta V{\omega }^2{A}^2{\sin }^2\left(\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right)$$

是含时的，每个微元的能量和当前的状态有关。

平衡位置的动能和势能最大，最大位移处的动能和势能为 0。

但是由于某些频率在 $10^{14}$ 的量级，故希望计算出 平均值。三角降幂积分计算得到

平均能量密度：

$$\overline{ϵ}=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2$$

最大能量密度就是它的两倍

$${ϵ}_{max}=2\overline{ϵ}$$

简谐波的能流密度（波的强度）

机械波把自己的能量传递给相邻的一段质元，随着时间，在介质中流动了多少能量？

能流：单位时间通过介质中与传播速度垂直的某一面积的能量

$$p=ϵ\vec{v}\cdot \vec{s}$$

平均能流

$$\bar{p}=\overline{ϵ}\vec{v}\cdot \vec{s}$$

平均能流密度矢量 （intensive）

$$I=\frac{\bar{p}}{s}=\overline{ϵ}v$$

考虑方向

$$\vec{I}=\overline{ϵ}\vec{v}=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2\vec{v}$$

需要记住和 $A^2$ 正比