动能定理

单质点的情况

$$\begin{array}{rl}dA& =Fdr\\ & =m\frac{dv}{dt}dr\\ & =mdv\cdot v\\ & =\frac{1}{2}md{v}^2\end{array}$$

积分得

$$A=\frac{1}{2}m{v}_t^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$$

适用条件：惯性系

质点系的动能定理

质点系所受的所有合外力以及所有内力做的功，等于物体系动能的增量

内力做功的特点

$$dA={\vec{f}}_{ij}\cdot d{\vec{r}}_{ij}={\vec{f}}_{ij}\cdot |d{\vec{r}}_{ij}|\cdot \cos \theta$$

上面的条件非常苛刻，所以内力做功的代数和一般情况下不等于 0

内力做功的多少与参考系的选择无关： ${\vec{r}}_{ij}$ 对于参考系选择无关

对每个质点运用动能定理，积分形式相加，得到：

$$\sum A_i=A_{外}+A_{内}=E_k-E_{k_0}$$

把内力分成保守力和非保守力两类

$$A_{保守}=-(E_{pb}-E_{pa})$$

移到后边去，动能和所有势能之和定义成机械能

所以外力做的总功和非保守力做的内力功之和等于机械能的变化量

当不存在外力和非保守内力的时候，得到了 机械能守恒

刚体的动能定理

推倒过程和质点数学形式一样

$$dA=I\vec{\omega }d\vec{\omega }=d\left(\frac{1}{2}I{\omega }^2\right)$$

积分就可以得到：

$$A=\frac{1}{2}I{\omega }_2^2-\frac{1}{2}I{\omega }_1^2$$

同样的，定义 转动动能

$$E_k=\frac{1}{2}\sum \Delta m_i{r}_i^2{\omega }_i^2=\frac{1}{2}I{\omega }^2$$