微振动系统的简谐近似

把势能函数在 $x=0$ 处作 泰勒展开

$$E_p(x)=E_p(x_0)+E_p^{\prime }(x_0)(x-x_0)+E_p^{\prime \prime }(x_0)\frac{(x-x_0{)}^2}{2!}+\dots$$

在平衡位置的时候，势能的一阶导数等于 0，同时忽略高阶级数项

$$E_p(x)\approx E_p(x_0)+\frac{1}{2}{\left(\frac{d^2{E}_p(x)}{d{x}^2}\right)}_{x=x_0}(x-x_0{)}^2$$

保守力是势能梯度的负值

$$F=-\frac{d{E}_p}{dx}=-E_p^{\prime }(x-x_0)$$

符合简谐振动的动力学方程