简谐振动

运动学方程

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-{\omega }^{2}x$$ $$x=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$$

简谐运动例子

总能量

$$F=-kx$$ $$E=\frac{1}{2}k{A}^2$$

角频率

在 $2\pi$ 秒内做的全振动的次数

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旋转矢量方法

双值问题在只知道位移信息的时候能够解出两个解，需要通过速度的正负确定。利用圆的简谐振动特性可以有效解决。

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在一个周期内的平均势能和平均动能 → 平均值 算法

$${\bar{E}}_p={\bar{E}}_k=\frac{1}{4}k{A}^2$$ $$E_p=\frac{1}{2}m{v}^2{E}_k=\frac{1}{2}k{x}^2$$

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证明简谐振动

写出动力学方程或写出振动方程

或证明能量观点：

1. 写出所有动能和势能
2. 对整个能量对时间求导等于 0，得到动力学方程（变量往位移和时间上靠），消去 v
3. 得到 $\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-{\omega }^{2}x$ 的形式

从能量的角度也可以判断是否为简谐振动

势能和动能互补，互为互余三角函数平方

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微振动系统的简谐近似

把势能函数在 $x=0$ 处作 泰勒展开

$$E_p(x)=E_p(x_0)+E_p^{\prime }(x_0)(x-x_0)+E_p^{\prime \prime }(x_0)\frac{(x-x_0{)}^2}{2!}+\dots$$

在平衡位置的时候，势能的一阶导数等于 0，同时忽略高阶级数项

$$E_p(x)\approx E_p(x_0)+\frac{1}{2}{\left(\frac{d^2{E}_p(x)}{d{x}^2}\right)}_{x=x_0}(x-x_0{)}^2$$

保守力是势能梯度的负值

$$F=-\frac{d{E}_p}{dx}=-E_p^{\prime }(x-x_0)$$

符合简谐振动的动力学方程

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