磁场的环路定理

$$\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum I_{内}$$

H 为 磁场强度矢量

$$\oint \vec{B}d\vec{l}=\sum {\mu }_0{I}_i$$

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对于无限长直导线为圆心的环形电路

$$\oint \vec{B}d\vec{l}=\oint \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi x}dl={\mu }_{0}I$$

I 为穿过该平面的电流之和，和环路的方向满足右手法则的时候 I 取正

推广之后仍成立 （证明略）

电流强度

由 斯托克斯公式 改成微分形式

$$\nabla \times B={\mu }_0\vec{j}$$ $$\oint \nabla \times \vec{B}\cdot d\vec{S}=\oint {\mu }_0\vec{j}d\vec{S}={\mu }_{0}I$$

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可解的三类问题：

无限长圆柱导线

外部和线等价

内部：

$$B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi R^2}$$

螺绕环

环管内磁场分布：（对螺绕环共轴的圆周近似）

$$\oint \vec{B}d\vec{l}={\mu }_{0}NI⟹B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$$

外部为 0

无限大均匀载流平面

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全电流下的安培环路定理

$$\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=I_f+I_D$$

其中 位移电流

$$I_D=j_{D}dS=\frac{\partial D}{\partial t}dS$$

微分形式为

$$\nabla \times \vec{H}={\vec{j}}_f+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$