斯托克斯公式

S 是分片光滑的有向曲面，L 是它的边界，也是有向光滑的，S 的法向量和 L 的方向符合右手法则，向量场分量在曲面上偏导数连续（9 个）

$$\oint Pdx+Qdy+Rdz=\iint \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

如果曲面 $z=h$，$dz=0$，斯托克斯公式 退化为 格林公式

同样的，系数为零的时候，有 闭路变形原理，此时线是空间曲线

可以简化为

$$\underset{S}{\iint }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|=\underset{S}{\iint }\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|dS$$

建立了 第二类曲面积分 和 第一类曲面积分 之间的关系

$${\vec{n}}_0=\left(\begin{array}{c}\cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{array}\right)$$

斯托克斯公式的应用