元素的阶

类似于最小正周期的概念

如果有 $a^i=a^j$

存在正整数 $k=i-j>0$ 使得 $a^k=e$ ，其中最小的 k 称为元素 a 的阶

如果不存在，则是 无限阶元素

• 单位元的阶一定是 1
• 不一定是循环群里的概念，任意的群里每一个元素都有阶存在

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性质

如果 a 是 n 阶元素，则序列 $\{a^0,a^1,\dots a^{n-1}\}$ 两两不相同，而且 a 的一切幂都包含在这个序列中

群 G 的任意一个元素都能生成一个循环群，它是 G 的子群。生成群的阶就是该元素的阶

$$a^i=e⟺n|i$$

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循环群阶的计算

$a^k$ 的阶为

$$\frac{n}{(k,n)}$$

即

$$a^{kn/(k,n)}=e$$

而且

$$(a^k{)}^i=a^{ki}=e⟹n|ki⟹\frac{n}{(k,n)}|\frac{k}{(k,n)}i⟹\frac{n}{(k,n)}|i$$

所以 $\frac{n}{(k,n)}$ 是使它成立的最小正整数

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推论：如果当 kn 互素的时候，$g^k$ 的阶为 n，也是这个循环群的生成元

所以 n 阶的循环群一共有 $\phi (n)$ 个 生成元 → 欧拉函数

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循环群的子群一定是循环群

如果只有单位元，那么显然成立；如果还有其他，那么一定有一个 $g^i(i>0)$ 在里面（负数就逆元一下） 最小的设为 $g^s$

那么在群里的任何元素都能表示成 $g^{qs}=g^m$

$$m=qs+t$$

可证 t=0

这个新的循环群要么只有 e，要么由 $g^s$ 生成

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无限阶的子群除了一个 $\{e\}$ 之外只可能是无限循环群

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n 阶循环群的子群的阶是 n 的正因子，且对于 n 的每一个正因子 q，有且仅有一个 q 阶子群

就是先拉出来最小的那一个作为生成元，然后可以证明不存在任何群里面的元素不是这个的倍数，否则就不是最小的生成元了，因为取模之后更小。基本的思路是这样。

因为最小的元素已经限定在 0 到 n 里了，

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通过 拉格朗日定理 可以扩展到任意群：