循环群

如果一个 G 的元素都是某一个元素 g 的幂，则 G 称为循环群，g 称为 G 的一个 生成元。由 g 生成的循环群记为 $(g)$

如果元素两两不相等，则是无限循环群，可以表示为

$$\{\dots ,g^{-1},g^0,g,g^2,\dots \}$$

其中 $g^0=e$

如果能有 $g^i=g^j(i>j)$ ，则是有限 n 阶循环群，可以表示为（证明就是证这个）

$$\{g^0,g,g^2,\dots ,g^{n-1}\}$$

一定存在

$$g^n=g^0=e$$

元素的阶 对于上面的生成元 g 的阶和群的阶是一样的，都是 n

根据定义，这个循环群的元素一定是两两不相同的（反证法）

单位元的阶一定是 1

循环群的性质

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由 拉格朗日定理 得：

阶为素数的群一定是循环群，一定有 生成元 存在