正规子群和商群

H 是群 G 的子群，如果 H 的每一个左陪集也是右陪集，则称 H 为 G 的正规子群，或不变子群

$$\forall a\in G,aH=Ha$$

阿贝尔群的所有子群都是正规子群

下面的四个命题等价：

1. H 是群 G 的正规子群
2. 对于任意 $a\in G$ 有 $aH{a}^{-1}=H$
3. 对任意 $a\in G,h\in H$ 有 $ah{a}^{-1}\in H$ // 这个最常用
4. 对任意 $a\in G$，有 $aH{a}^{-1}\subseteq H$

$$aH\subseteq Ha⟺a^{-1}H\subseteq H{a}^{-1}⟺Ha\subseteq aH$$

---

子集的乘积

H 是正规子群的充要条件是任意两个左陪集的乘积仍然是一个左陪集

$$HbH=bH⟹Hb=Hb\{e\}\subseteq HbH=bH⟹Hb=bH$$

---

商群