环的计算规则

n 是字面量数字（不是环中的元素），定义：

$$na=\stackrel{n}{\overbrace{a+a+\cdots +a}}$$

有：

$$(-n)a=-(na)$$

（在群中的等价描述）：

$$a^{-n}=(a^n{)}^{-1}$$

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$$0a=0$$

左边的是字面量 0，右边是零元

同样对乘法也有定义：

$$a^n=\stackrel{n}{\overbrace{aaa\dots aa}}$$

Warning

在环中一般不定义 $a^0$ 和 $a^{-n}$ ，因为可能没有逆元和单位元

可以看到 $0^0$ 的不良好定义

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在初等代数中有 $ab=0⟹a=0\vee b=0$ 但是在这个环中不成立（零因子）