三重积分在球坐标系下的计算

一个在 xoy 面上的极角，一个和 z 轴的夹角确定，和原点的距离确定，则可以唯一确定一个点

$$(\rho ,\phi ,\theta )$$

• $\theta$ 是极角，$[0,2\pi ]$
• $\phi$ $[0,\pi ]$
• $\rho$ $[0,+\infty ]$

$$\{\begin{array}{l}x=\rho \sin \phi \cos \theta \\ y=\rho \sin \phi \sin \theta \\ z=\rho \cos \phi \end{array}$$ $$dV={\rho }^2\sin \phi d\rho d\theta d\phi$$ $$\iiint fdV=\iiint f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi ){\rho }^2\sin \phi d\rho d\theta d\phi$$

一般最后对 $\theta$ 积分（其他变量的基础），先对 $\rho$ 积分

球心位置平移不影响积分微元，例如：

$$\{\begin{array}{l}x=\rho \sin \phi \cos \theta \\ y=\rho \sin \phi \sin \theta \\ z-1=\rho \cos \phi \end{array}$$

只要代换对了，雅可比行列式 不变，积分微元也不会有变化