重力场中粒子按高度的分布

考虑把所有速度相关因素都积分，得到：

d N = n_{0} e^{- E_{p} / k T} d x d y d z ∭ (\frac{m}{2 πk T})^{3/2} e^{- E_{k} / k T} d v_{x} d v_{y} d v_{z}

r 是所有实数， $θ \in (0, π)$ , $φ \in (0, 2 π)$

再根据概率函数归一化条件麦克斯韦气体分子速率分布律得到

d N = n_{0} e^{- E_{p} / k T} d x d y d z \int_{0}^{\infty} (\frac{m}{2 πk T})^{3/2} e^{- E_{k} / k T} v^{2} d v \int_{0}^{π} sin θ d θ \int_{0}^{2 π} d φ 4 π = n_{0} e^{- E_{p} / k T} d x d y d z

对单位体积归一化，得到

n = n_{0} e^{- E_{p} / k T}

代入 $E_{p} = m g z$ 得到

n = n_{0} e^{- m g z / k T}

压强：

p = nk T = p_{0} e^{- m g z / k T} = p_{0} e^{- M_{m o l} g z / RT}

z = \frac{RT}{M _{m o l} g} ln \frac{p _{0}}{p}

🪴 Cyril