函数极值的充分条件

$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right)$ 是 正定矩阵 则有最小值，是 负定矩阵 则有最大值

设函数在某个邻域内连续，有一阶和二阶连续偏导数

设 A C 是二阶重偏导数，B 是混合偏导数

$$B^2-AC$$

• 小于 0，有极值
  • A<0 的时候有极大值（C 也可以，因为是对等的）
  • A>0 的时候有极小值
• 大于 0，没有极值
• 等于 0，说不清楚

证明：

用泰勒展开，说明一阶导数为 0 的时候可以用到二阶导数来判断在邻域内大小比较

二元函数的泰勒展开

正定二次型 判断 负定矩阵