求复合函数的高阶偏导数方法

• 首先对抽象函数内自变量包装，化成 $f(u,v)$ 的形式
• 通过 多元复合函数求导的链式法则，先求出一阶偏导数
• 对一阶 偏导函数 求偏导得到二阶偏导，注意：
  • 一阶偏导数里面仍受自变量影响，仍然和原来的函数一样具有复合结构，不能看成常数，应再次求偏导，一般一开始展开有 6 项
  • $f$ 具有二阶连续偏导数，才有二阶混合偏导数不受顺序影响 混合偏导数相等定理

为书写简便，引进记号

$$f_1=\frac{\partial f}{\partial u}=f_u$$

$u$ 是第一个中间变量

$f_2$ 同理 $f_{11}$ 同理

设 $w=f(x+y+z,zyx)$，求 $\frac{\partial w}{\partial x}$ 和 $\frac{{\partial }^{2}w}{\partial z\partial x}$

$$\begin{array}{rlr}\frac{\partial w}{\partial x}& =\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial c}\frac{\partial v}{\partial x}& \\ & =f_1+yz{f}_2& \\ \frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial z}& =f_{11}+y(x+z)f_{12}+y{f}_2+x{y}^{2}z{f}_{22}& \end{array}$$