第一类曲面积分

把曲面向 xoy 面作投影，在这个区域内任取一个点对应到上面的点，曲面上对应的点作一个切平面，把下面的小区域作一个小柱面截曲面得到面积 S，当直径趋于 0 的时候，则曲面面积和切平面面积近似相等，和投影平面伸缩系数相差了一个 $\cos \gamma$ ， $\gamma$ 是 z 轴的单位余弦

所以可以转换到投影面上的二重积分

曲面面积微元

1. 把投影面算出来
2. 算出面积微元
3. 面积微元积分可以得到面积

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设曲面是 z 关于 xy 的方程表示的，曲面在 xoy 上的投影 $D_{xy}$ ，要求两个偏导数连续（曲面光滑），xyz 函数在曲面（有界闭几何形体）上连续，可以得到第一类区面积分

$$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)ds=\underset{D_{xy}}{\iint }f(x,y,z(x,y))\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}dxdy$$

1. 计算 z 关于 xy 的表达式
2. 把投影面算出来
3. 算出面积微元
4. 代入 xy 计算二重积分