散度

$$\underset{V\to M}{\lim }\frac{\iint \vec{A}\cdot d\vec{S}}{V}$$

散度是一个数量

散度表示在点 M 处 通量 对体积的变化率，即该点单位体积散发（吸收）的通量

用 高斯公式 等价刻画

积分中值定理 化简极限

三个偏导连续去掉极限符号

$$\begin{array}{rl}\underset{V\to M}{\lim }\frac{\iint \vec{A}\cdot d\vec{S}}{V}& =\underset{V\to M}{\lim }\frac{\iiint \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV}{V}\\ & =\underset{V\to M}{\lim }\frac{\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}}{V}\cdot V\\ & =\underset{V\to M}{\lim }\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\\ & =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}{|}_M\end{array}$$

记 散度算子

$$\nabla \cdot \vec{A}=div\vec{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$