欧拉-傅立叶系数公式

设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，且能够展开为三角级数，那么傅里叶级数的系数和原函数的关系是什么呢？

即 求正交基的表出系数（下面图片的方法有点笨了，放最后了）已知：

$$\{\begin{array}{l}{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}dx=\pi \\ {\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}nxdx=\pi \\ {\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}nxdx=\pi \end{array}$$

最后得到：

$$\{\begin{array}{l}{a}_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx\\ a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx\\ b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx\end{array}$$ $$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

可以充分利用函数的奇偶性来使式子化简更快：

• f 是奇函数，只剩下 sin 项
• f 是偶函数，只剩下 1 和 cos 项

---